天まで届け

お久しぶりです。
なんやかんやで大学の後期が始まってしまいました。

サイト本体、ほぼ手付かず(笑)


まぁあまりに放置しすぎるのも切ないので、適当に更新します。





さて、大学生にはありがちなことで塾のバイトをしているわけですが、担当している生徒さんが現在「指数・対数」分野で格闘中なのです。

指数の概念はなんとなくスッと入ってくる人も多いんじゃなかろうかと思うんだけど、対数は考え方そのものが新しい(あくまで高校生にとって)ので、なかなか分かりづらいんじゃないかと思います。

まぁそれを克服しなきゃこの先何ともならんわけですが。


で、対数の問題に良くあるもののうちの一つが、「桁数を求めよ」という問題。

例えば、2⁵⁰は何桁の数字になるのか、という問題を自然対数を用いてうまく求めていくわけです。

お次が、「特定の計算をしていった時に、初めてある値を超える自然数ｎを求めよ」というやつ。
これがなかなか苦戦しているようです。「式が立てにくい」のだとか。

こないだ生徒さんがやっていたのは、
「1時間ごとに5割増殖するバクテリアが、初めの個体数の100倍になるのは何時間後か」
という主旨の問題でした。

数学の問題でいきなりバクテリアとは、なかなか面食らう問題ではありますが、これはn時間後にはバクテリアの個体数はもとの1.5ⁿ倍になることを見い出せればクリアなのです。

この問題の解説をしていて連想するのがいわゆる「ねずみ算」の問題。

倍々ゲームのような感じで、物凄い勢いで値が増大していくもののことです。

マルチ商法みたいな感じですね。
一人が5人紹介して、その5人がさらに5人紹介すれば、25人分の利益がうんぬん…ってやつです。引っ掛かってはいけませんよ。


他にも、テレビドラマ版の「リング」では、呪いのビデオを見た人は13日以内に2人にダビングしてビデオを見せないと死ぬ、というルールがありました。
映画版では必ずしも2人に見せる必要はなくて、7日以内にダビングして誰かに見せればいいので指数関数的な増大はしないんですが。


こんな感じで、この辺の計算は悪徳商法にもホラー映画にも使える優れもの(？)なんですが、実際に試験に出そうと思うとなんかもっと身近で平和な物になりますね。(当たり前)

僕が実際定期テストで出会った問題は、「コピー用紙を何回折り曲げたら近所の山の標高を超えるか」でした。
なんとも牧歌的な問題。


といわけで、これをいろいろと応用してみたいと思います。

コピー用紙を折り曲げて、太陽まで届かせて見ることにしましょう。

コピー用紙は、測定してみたら10枚で1mmだったので、1枚あたり0.1mmということにします。
つまり10^－4mですね。これをrと置いときます。

一回折ると2r、2回折ると2²rとなって、n回折ると2ⁿr[m]の厚さになります。

で、地球と太陽との平均距離は1AU(天文単位)、本なり何なりで調べてやると149597870[km]、つまり149597870000[m]です。これをRとして、n回折り曲げた時に超えるとすると、

2ⁿr≧R

両辺自然対数をとると
log₁₀2ⁿr≧log₁₀R

nlog₁₀2＋log₁₀r≧log₁₀R

あとは関数電卓に活躍してもらうとして、計算すると
n≧50.41…
となります。

nは折り曲げる回数、つまり自然数なので、
n≧51

つまり、コピー用紙をひたすら折り続けていくと、51回目に厚みが太陽に届いてしまうのです。

回数的には案外あっけない感じもしますが、実際折ってみると5～6回が限度でしょうか(笑)



まぁせっかくなので、他のものにも届かせて見ましょう。

例えば冥王星。

惑星の定義やらいろいろあって、惑星のカテゴリーから弾き飛ばされてしまった悲劇の惑星ですね。
衛星カロンがかなり大きいとか、衛星カロンとの重心が冥王星より外部にあるから実は連星なんだとか、話題提供にはなってるんだけど。

さて、いまやエッジワース・カイパーベルト天体とかいう分類に格下げされてしまった冥王星、太陽との平均距離は39.53AU、約5914000000000[m]。
地球からの距離もこれと大差ないと考えてこの値をさっきの式のRに代入して計算すると、

n≧55.7149…

つまり
n≧56

ということは、地球上でコピー用紙をせっせと折ってなんとか太陽まで届いたら、あともうひと踏ん張り、5回折れば冥王星軌道を超えます。
あなたのやる気次第！



じゃぁ、現在観測可能な宇宙の範囲である150億光年にはどれくらいでとどくのか。

150億光年＝14.19×10²⁵[m]とのことなので、代入してみると





n≧100.16…





なんとコピー用紙を折り続けて苦節101回目、あなたの手元のコピー用紙は観測可能な宇宙の外縁からはみ出してしまうのです！！

こう考えると、倍々ゲームもバカにできないね。


さぁみんなもコピー用紙を折って、5～6回目くらいで挫折しよう。